Contoh Aljabar Boolean - Gerbang Logika Digital
Contoh Aljabar Boolean tentang cara mengurangi jumlah gerbang digital menggunakan Hukum Aljabar Boolean
Aljabar Boolean dan Hukum Aljabar Boolean dapat digunakan untuk mengidentifikasi gerbang logika yang tidak perlu dalam desain logika digital yang mengurangi jumlah gerbang yang diperlukan untuk menghemat konsumsi daya dan biaya.
Kita telah melihat seluruh bagian ini bahwa fungsi logika digital dapat didefinisikan dan ditampilkan sebagai ekspresi Aljabar Boolean atau sebagai Tabel Kebenaran gerbang logika. Jadi di sini adalah beberapa contoh bagaimana kita dapat menggunakan Aljabar Boolean untuk menyederhanakan rangkaian logika digital yang lebih besar.
Pengamatan pertama memberi tahu kita bahwa rangkaian terdiri dari 2-input gerbang NAND, 2-input gerbang Ex-OR dan akhirnya 2-input gerbang Ex-NOR pada output. Karena hanya ada 2 input ke rangkaian berlabel A dan B, hanya ada 4 kemungkinan kombinasi input ( 22 ) dan ini adalah: 0-0, 0-1, 1-0 dan akhirnya 1-1. Merencanakan fungsi Logika dari setiap gerbang dalam bentuk tabel akan memberi kita tabel kebenaran berikut untuk seluruh rangkaian logika di bawah ini.
Dari tabel kebenaran di atas, kolom C mewakili fungsi output yang dihasilkan oleh gerbang NAND, sedangkan kolom D mewakili fungsi output dari gerbang Ex-OR. Kedua ekspresi output ini kemudian menjadi kondisi input untuk gerbang Ex-NOR di output.
Dapat dilihat dari tabel kebenaran bahwa output pada Q hadir ketika salah satu dari dua input A atau B berada pada logika 1. Satu-satunya tabel kebenaran yang memenuhi kondisi ini adalah Gerbang OR. Oleh karena itu, seluruh rangkaian di atas dapat diganti dengan hanya satu 2-input Gerbang OR.
Sistem ini terdiri dari Gerbang AND, Gerbang NOR dan terakhir Gerbang OR. Ekspresi untuk gerbang AND A.B, dan ekspresi untuk gerbang NOR
. Kedua ungkapan ini juga masukan terpisah untuk gerbang OR yang didefinisikan sebagai . Jadi ekspresi output akhir diberikan sebagai:
Output dari sistem ini diberikan sebagai Q = (A.B) + ( ), tetapi notasi adalah sama dengan notasi De Morgan's 
.
, Kemudian mengganti . ke dalam ekspresi output memberi kita notasi hasil akhir dari Q = (A.B) + ( . ), yang merupakan notasi Boolean untuk Gerbang Eksklusif-NOR seperti yang terlihat di bagian sebelumnya.
Kemudian, seluruh rangkaian di atas dapat diganti dengan hanya satu Gerbang -NOR-eksklusif dan memang Gerbang -NOR-Eksklusif terdiri dari fungsi gerbang individu ini.
Sistem ini mungkin terlihat lebih rumit daripada dua lainnya untuk menganalisis tetapi sekali lagi, rangkaian logika hanya terdiri dari gerbang sederhana gerbang AND, gerbang OR dan gerbang NOT yang dihubungkan bersama.
Seperti contoh Boolean sebelumnya, kita dapat menyederhanakan rangkaian dengan menuliskan notasi Boolean untuk setiap fungsi gerbang logika pada gilirannya untuk memberikan ekspresi akhir untuk output pada Q.
Output dari 3-input gerbang AND hanya pada logika "1" ketika SEMUA input gerbang TINGGI pada level logika "1" ( A.B.C ). Output dari gerbang OR yang lebih rendah hanya "1" ketika satu atau kedua input B atau C berada pada level logika "0". Output dari 2-input gerbang AND adalah "1" ketika input A adalah "1" dan input B atau C berada pada "0". Maka output pada Q hanya "1" ketika input A.B.C sama dengan "1" atau A sama dengan "1" dan kedua input B atau C sama dengan "0", A. (+
).
Dengan menggunakan " teorema de Morgan's " input B dan input C batal untuk menghasilkan output pada Q mereka dapat berupa logika "1" atau pada logika "0". Maka ini hanya meninggalkan input A sebagai satu-satunya input yang diperlukan untuk memberikan output pada Q seperti yang ditunjukkan pada tabel di bawah ini.
Kemudian kita dapat melihat bahwa seluruh rangkaian logika di atas dapat diganti dengan hanya satu input tunggal berlabel " A " sehingga mengurangi rangkaian enam gerbang logika individu menjadi hanya satu bagian kawat, (atau Buffer). Jenis analisis rangkaian ini menggunakan Aljabar Boolean bisa sangat kuat dan cepat mengidentifikasi gerbang logika yang tidak perlu dalam desain logika digital sehingga mengurangi jumlah gerbang yang diperlukan, konsumsi daya rangkaian dan tentu saja biayanya.
Aljabar Boolean dan Hukum Aljabar Boolean dapat digunakan untuk mengidentifikasi gerbang logika yang tidak perlu dalam desain logika digital yang mengurangi jumlah gerbang yang diperlukan untuk menghemat konsumsi daya dan biaya.
Kita telah melihat seluruh bagian ini bahwa fungsi logika digital dapat didefinisikan dan ditampilkan sebagai ekspresi Aljabar Boolean atau sebagai Tabel Kebenaran gerbang logika. Jadi di sini adalah beberapa contoh bagaimana kita dapat menggunakan Aljabar Boolean untuk menyederhanakan rangkaian logika digital yang lebih besar.
Contoh: Aljabar Boolean No.1
Buat Tabel Kebenaran untuk fungsi Logika pada titik C, D dan Q di rangkaian berikut dan identifikasi gerbang logika tunggal yang dapat digunakan untuk mengganti seluruh rangkaian.Pengamatan pertama memberi tahu kita bahwa rangkaian terdiri dari 2-input gerbang NAND, 2-input gerbang Ex-OR dan akhirnya 2-input gerbang Ex-NOR pada output. Karena hanya ada 2 input ke rangkaian berlabel A dan B, hanya ada 4 kemungkinan kombinasi input ( 22 ) dan ini adalah: 0-0, 0-1, 1-0 dan akhirnya 1-1. Merencanakan fungsi Logika dari setiap gerbang dalam bentuk tabel akan memberi kita tabel kebenaran berikut untuk seluruh rangkaian logika di bawah ini.
Input
|
Output
|
|||
A
|
B
|
C
|
D
|
Q
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
Dapat dilihat dari tabel kebenaran bahwa output pada Q hadir ketika salah satu dari dua input A atau B berada pada logika 1. Satu-satunya tabel kebenaran yang memenuhi kondisi ini adalah Gerbang OR. Oleh karena itu, seluruh rangkaian di atas dapat diganti dengan hanya satu 2-input Gerbang OR.
Contoh: Aljabar Boolean No.2
Temukan ekspresi aljabar Boolean untuk sistem berikut.Sistem ini terdiri dari Gerbang AND, Gerbang NOR dan terakhir Gerbang OR. Ekspresi untuk gerbang AND A.B, dan ekspresi untuk gerbang NOR
. Kedua ungkapan ini juga masukan terpisah untuk gerbang OR yang didefinisikan sebagai . Jadi ekspresi output akhir diberikan sebagai:Output dari sistem ini diberikan sebagai Q = (A.B) + (
), tetapi notasi adalah sama dengan notasi De Morgan's ., Kemudian mengganti . ke dalam ekspresi output memberi kita notasi hasil akhir dari Q = (A.B) + ( . ), yang merupakan notasi Boolean untuk Gerbang Eksklusif-NOR seperti yang terlihat di bagian sebelumnya.
Input
|
Menengah
|
Output
|
||
B
|
A
|
A.B
|
|
Q
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
Contoh: Aljabar Boolean No.3
Temukan ekspresi aljabar Boolean untuk sistem berikut.Sistem ini mungkin terlihat lebih rumit daripada dua lainnya untuk menganalisis tetapi sekali lagi, rangkaian logika hanya terdiri dari gerbang sederhana gerbang AND, gerbang OR dan gerbang NOT yang dihubungkan bersama.
Seperti contoh Boolean sebelumnya, kita dapat menyederhanakan rangkaian dengan menuliskan notasi Boolean untuk setiap fungsi gerbang logika pada gilirannya untuk memberikan ekspresi akhir untuk output pada Q.
Output dari 3-input gerbang AND hanya pada logika "1" ketika SEMUA input gerbang TINGGI pada level logika "1" ( A.B.C ). Output dari gerbang OR yang lebih rendah hanya "1" ketika satu atau kedua input B atau C berada pada level logika "0". Output dari 2-input gerbang AND adalah "1" ketika input A adalah "1" dan input B atau C berada pada "0". Maka output pada Q hanya "1" ketika input A.B.C sama dengan "1" atau A sama dengan "1" dan kedua input B atau C sama dengan "0", A. (
+ ).Dengan menggunakan " teorema de Morgan's " input B dan input C batal untuk menghasilkan output pada Q mereka dapat berupa logika "1" atau pada logika "0". Maka ini hanya meninggalkan input A sebagai satu-satunya input yang diperlukan untuk memberikan output pada Q seperti yang ditunjukkan pada tabel di bawah ini.
Input
|
Intermediet
|
Output
|
||||||
C
|
B
|
A
|
A.B.C
|
|
|
+ |
A.(
+ |
Q
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|